Solución al problema mariposa: la casa X

La semana pasada planteé el Problema Mariposa I: la casa X. Mi idea era poner uno de estos problemas una vez cada dos meses aunque no estoy seguro si merece la pena: por un lado el post ha recibido unas 2500 visitas y más de 20 comentarios, que para este humilde blog está muy bien. Sin embargo sólo he recibido una respuesta correcta al problema (o más o menos correcta). Supongo que tendría que ver con la complejidad del problema y el tiempo necesario para solucionarlo. Abajo he incluido una pequeña encuesta para saber si repetir o no. Pero vayamos al grano:

El ganador de una funda de mac o iPhone de JositaJosi y de todos mis respetos ha sido………  Samuel (sacona). 

Aunque su solución no es exactamente como la mía (ver más abajo) el flujo de trabajo está bien ideado y se ha dado cuenta de algunas trampitas como que C1 no tocaba la rampa de salida sino que hacía un lanzamiento horizontal, el cálculo del agua está básicamente bien, incluso de que el tallo ocupaba volumen en la palangana. En la última parte no ha realizado un tiro parabólico sino horizontal (ha omitido el ángulo de la rampa) pero dado que ha calculado todo lo demás incluido el ángulo no me importa.

Cálculos de Samuel:

La planta recibe un total de 90w * 10% * 200h = 1800Wh, que son 6480000 Ws (Julios). Esto son 1548757,17 calorías, es decir 1548,75 kcal. Teniendo en cuenta la proporcion NADPH:ATP de 1:1,5, y la energía disponible, tenemos, siendo x los moles de NADPH (52*x+1,5*7,3*x=1548,75). Esto nos da un total de 24,60 moles de NADPH y 36,904 moles de ATP. Teniendo en cuenta que 12 moles de NADPH más 18 de ATP nos dan un mol de glucosa, y ya tenemos la proporción adecuada, calculamos fácilmente que se producirán 24,60/12 = 2,0502478 moles de glucosa. Por cada mol de glucosa se han gastado 6 moles de agua, por lo que se han empleado 12,3015 moles de agua, que multiplicados por su masa molecular (18g/mol) dan 221,427 g de agua. Asumo una densidad de 1000L por metro cúbico, con lo que hemos consumido 0,22143L de agua. El volumen inicial de agua, por cierto, despreciando el volumen del tallo sumergido, es de 0,2*0,2*0,1= 0,004 m3=4L. Quedan 3,77857L. El 1,1% de la glucosa son 0,02255 moles, o 22,553 milimoles, que es el radio del cogollo C1 tras las 200h. Suponiéndolo esférico, nos sale un volumen de 48,05mL. Este volumen se resta del volumen de agua disponible, ahora quedan 3,73052L. El 0,12% de la glucosa son 0,00246 moles, por lo que la planta ha aumentado su volumen en 0,00246 m3. Esto devuelve 0,00246 moles de agua a la palanga, que son 0,04429L. Quedan 3,73057L. 

El volumen inicial de la planta, suponiéndola un cilindro, es de 0,00126m3. Sumando lo que ha crecido, nos da un volumen final de 0,00372m3. Se dice que el crecimiento es en la vertical, por lo que nos sale una altura resultado de 2,9578m. El 80% del volumen ganado es agua que se toma de la palangana. Esto son 1,96824L. Quedan 1,7623305L de agua.La altura inicial del agua es 0,1m, y la altura final se obtiene del volumen final. Son 0,0440583m. La diferencia de altura entre el extremo de la planta y el agua es de 2,9137841m. 

Tras las 200h, el cogollo C1 cae, golpeando al cogollo C2 en choque elástico. [..] Para el cálculo de la masa de C1, se añade a la masa de agua la de la glucosa que queda disuelta en su interior. (52,11g) Por ser el choque elástico, se conserva la energía. La energía cinética antes del choque es la que lleva C1 justo antes de tocar a C2. Asumimos que C1 toca a C2 justo al llegar al suelo y no antes. La energía cinética de C1 es su energía potencial antes de caer, tomando como origen de energías la superficie de la plataforma donde descansa C2. [Sacona me da los datos del choque que he omitidoEsta energía vale 1,48807J, y ni corto ni perezoso voy a asumir que pasa totalmente a C2 en el choque, alterando su estado de movimiento. Así me sale que C2 debe salir disparado con una velocidad de 12,19864m/s hacia “la izquierda”, equivalente a esa energía cinética. El cogollo C2 llega a la rampa, pero con tal velocidad, que no la toca directamente, sino que cae parabólicamente hasta algún punto de la misma o de más allá. Calculamos un tiro parabólico con origen en lo alto de la rampa, velocidad inicial de 12,20m/s horizontal. La rampa tiene una inclinación del arcoseno de la altura del agua partido por la longitud de la hipotenusa, ambos datos conocidos. Eso son 0,456248 radianes o 26,141061 grados. Según mis cálculos, el cogollo tocaría la rampa pasados 19,8967cm de la misma. Digo tocaría porque la rampa mide sólo 10cm sobre la hipotenusa (unos 10,58cm sobre la horizontal). Así que nos olvidamos de esta rampa, ¡el cogollo la sobrevuela cual capitán cannabis!  Tenemos a C2 viajando a gran velocidad desde que saltó por la primera rampa. Según mis cálculos, aterriza directamente sobre el tramo de 1,5m que no tiene rozamiento. Como no ha tocado la rampa, su velocidad en la horizontal no cambia.

Asumo que la velocidad que gana en la vertical mientras cae se disipa al golpear en el suelo (una o más veces), ya que no hay nada que transforme esa velocidad en una componente horizontal. Así pues la velocidad de C2 por el suelo es de 12,19864m/s. Llega a la segunda rampa. Veamos qué ángulo está inclinada. Según el retorcido mecanismo, propio de una mente al menos igual de retorcida, el ángulo de la segunda rampa coincide con la energía cinética de los electrones que escapan de una placa de cesio que recibe la luz violeta de nuestra lámpara. Nuestra luz violeta tiene una longitud de onda de 436nm. Podemos obtener su energía a través de la constante de Plank (unidades eV*s, m/s, m): Efotón=h.frec=h*c/longitud.de.onda=4,1356673E-015*299792458/4,36E-007=2,84367 eV. Un fotón que llega a la placa de cesio con esta enería utiliza 2,1eV para arrancar un electrón, el resto de la energía se la lleva el electrón como energía cinética. Así que 2,84367-2,1= 0,74367eV => La rampa 2 está inclinada 0,74367 grados

La segunda rampa tiene una longitud de 20cm, teniendo el ángulo, sabemos que el seno del mismo es igual a la altura de la rampa dividido entre su longitud: sin(a)=h/20cm, por lo que la altura h = 20*sin(a) en cm. Y esto da 0,25958392cm. Para saber la velocidad a la que llega arriba de la rampa, basta con calcular su energía potencial en lo más alto, y después se la restamos a su energía cinética: Ep=mgh=0,00050878J Dado que la rampa está muy poco inclinada, el cogollo pierde muy poca energía al recorrerla. La energía cinética antes de la rampa es de 1,48807 (dado que sigue moviéndose en el eje x a la misma velocidad). Casi no se va a notar, pero restamos la energía potencial, queda 1,48755833 J, que traducido a velocidad son 12,19655m/s. Ahora todo se reduce a un tiro inclinado desde el extremo de la segunda rampa. Conocemos la velocidad y el ángulo de tiro. Y la altura del tiro son los 5m de la casa, más los 0,25958392cm de la rampa MENOS los 2m que mide nuestro “cliente”: 3,00259584m. La posición horizontal tomamos como que partimos del origen, hacia x positivos. Así pues, tenemos que la velocidad en x serán los 12,19655 por el coseno del ángulo de la rampa, y en el eje y 12,19655 por el seno. La posición en el eje x vendrá dada por x(t)=v*t*cos(a) = 12,19552*t  Y la del eje y, por tener aceleración: y(t)=-1/2gt^2+v*sen(a)*t+y.ini siendo g=9,8m/s^2, y.ini=3,00259584m. Ahora queremos que el cogollo llegue al suelo, es decir, a la cabeza de nuestro hombre. Por tanto, buscamos t para el que y(t)=0, por lo que sólo hay que resolver: -1/2gt^2+v*sen(a)*t+y.ini=0 que da t=0,79912s. Es lo que tarda el cogollo en llegar a la cabeza, si el comprador se ha situado correctamente. Aplicando este valor de tiempo a la ecuación de posición de x(t), sale: x(t) = 12,19552*t = 9,74568m. Y esa es la solución. Nuestro amigo amante de los cogollos, debe contar 200h y, unos segundos después (que también se pueden calcular, jejejej) estar preparado, situándose a 9,74568m de la pared de la casa X.

Mis cálculos:

Los he repasado un par de veces así que espero que estén bien, si veis algún error no dudéis en decirlo. Las “x” son multiplicaciones, “E” es exponencial.

La energía que recibe la planta es de 6,48x10E6 julios (90w x 200h x 3600julios/w x 0.1), o  1548 kcal que se convierten en 24,586 moles de NADPH y 36,879 moles de ATP (requieren 24,586 moles de agua de la palangana, ver más adelante), este cálculo se realiza sabiendo que el NADPH cuesta 52kcal/mol y el ATP 7,3 kcal mol y su proporción 1:1,5. Estos precursores producen 2,048 moles de glucosa tras el Ciclo de Calvin, se utilizan además 12,293 moles de agua (ver más adelante).

Maduración del cogollo: se usan 22,52 milimoles de glucosa, que significan 22,52 milímetros de radio. Despejando el volumen de una esfera (v = 4/3 x pi x 22,52E3), v = 47,84 cm cúbicos, que significan 47,84 mililitros de agua (ver más adelante) y un cogollo de 51,75 g (cálculo: 47,84 mililitros x 0,997 g/”mililitro de agua a 25ºC y 1atm” + (22,52 milimoles glucosa x 180,15 miligramos/mol))

Crecimiento: se usan 0,00245 moles de glucosa (su conversión a celulosa añade 0,00245 moles de agua a la palangana). Según la proporción mol/metro cúbico significa que la planta crece 0,00245 metros cúbicos, como conocemos el radio (2cm) de la planta y se supone un tallo circular usamos la ecuación de volúmenes para cilindros: 0,00245=pi x 2E2 x A, despejamos la altura, incremento en A = 1,974 metros. El agua utilizada es 1,96 litros (0,00245 metros cúbicos x 0,8 x 1000 litros/metro cúbico, ver más adelante)

La altura: la planta mide 1 metro, al que hay que añadir 1,974 metros que crece, es decir A= 2,974 metros. La plataforma estaba originalmente a 10 cm sobre el suelo (por el agua que había). El balance de agua hasta ahora es de -24,586 moles, – 12, 293 moles, -1,96 litros, -47,84 mililitros, + 0,00248 moles. Considerando que un mol de agua son 18g y por la condiciones de temperatura y presión son 17.95 mililitros de agua podemos calcular el balance de agua: v = -2,627 litros. El volumen inicial era de 4 litros (20cm x 20cm x 10 cm), por lo que quedan 1,373 litros. En este punto conviene indicar que podríamos considerar el volumen del tallo tanto al principio como ahora, pero si hacéis los cálculos veréis que son cambios mínimos así que lo dejo para detallistas. Esto significa que la altura de la plataforma sobre el suelo es de 3,43 cm que hay que restar a la caída del cogollo C1.

La caída de C1 durante esos 2,94 metros suponen 7,59 m/s de velocidad final ( 2,94 metros = 0,5 x 9,8 m/sE2 Xx tE2 y con el tiempo 9,8 = V/0,7748). El choque se resuelve como elástico considerando el ángulo de 45º para la velocidad de salida, dando como resultado una velocidad de salida de 13,93 m/s (cálculos: 20g x v = 51,89g x 7,59m/s; entonces despejamos velocidad en X con trigonometría: cos45 = V(en x)/18,984 m/s) [nota: aquí hay también algo de suposición que no me plantee inicialmente]. 

El primer tramo carece de rozamiento por lo que la velocidad no varía, tras este hay una rampa con rozamiento. Sin embargo hemos de considerar las leyes de la inercia de Newton, ¿por qué C2 debería bajar por la rampa?, en realidad el cogollo describe un lanzamiento horizontal desde la plataforma. Si calculamos donde cae utilizando la altura de la plataforma ( 0,0343 = (9,8m/sE2 x tE2)/2, despejamos t y calculamos s = 13,93 x 0,081s) vemos que el resultado es de 1,12 metros, eso está muy alejado de la pendiente con rozamiento (mide 10 cm en su tramo largo) por lo que esta pendiente no se aplica.

C2 seguirá su camino hasta la pendiente de salida. Su ángulo se calcula rápidamente con la ecuación E = hf -W (tenemos W = 2.1 eV, h es la constante de Planck y la frecuencia de la luz violeta es de 688 THz), despejando sale 0,7 eV, lo que significa 0,7º. Así que tenemos un tiro parabólico donde el ángulo de salida es de 0,7º, la velocidad inicial es de 13,93 m/s, la altura es de (5 metros – 2 metros del hombre + 0.0024 metros de la rampa) de prácticamente 3 metros. Eso da un cálculo aproximado utilizando la ecuación para tiro parabólico para X. El resultado es 11 metros, que es la distancia a la que el señor que sólo paga las facturas de la luz debe ponerse para recibir milagrosamente un cogollito de maría.


15 comentarios

Archivado bajo humor, Pequeñas cosas, Science & Nature

15 Respuestas a “Solución al problema mariposa: la casa X

  1. Sergio, yo creo que lo que ha pasado es que la gente se ha desanimado antes de empezar. Seguramente haya sido cosa de lo tedioso y largo que resulta. Es un problema interesante, pero requiere dedicarle un tiempo considerable (incluido el de aclarar y preguntarte dudas sobre el enunciado propiamente dicho) y ese tiempo no todos disponemos de él.

    A mí personalmente, este tipo de desafíos me encanta, pero desgraciadamente no dispongo del tiempo necesario para dedicárselo como me gustaría.

    De todas formas, tengo que felicitarte por la idea y creo que 2500 visitas es una cifra nada despreciable. A veces resulta muy complicado hacer que la gente se interese por lo que a nosotros nos fascina, pero no por ello hay que dejar de intentarlo. Yo llevo luchando contra esto varios años en mi asignatura Física en la Ciencia Ficción, en la universidad de Oviedo, y aún sigo con la misma ilusión que el primer día. Luego, hay gente que te sorprende muchísimo y eso es lo que realmente merece todo el esfuerzo previo dedicado.

    Un saludo y mucho ánimo.

  2. Samuel

    Muchas gracias!!! Qué emoción, he conseguido un premio “haciendo física”!!! Jejejej

    Como te he comentado en el mail, creo que sí he tenido en cuenta el ángulo del lanzamiento final, pero bueno, tampoco vamos a discutir😉

    Creo que mi fallo más gordo ha sido lo de transferir toda la energía de C1 a C2 en la colisión, lo suyo es que C1 quedara con parte de la energía, añadiendo al cálculo la conservación del momento, pero bueno, yo creo que es suficiente.

    Un saludo.

  3. Suscribo lo que ha dicho Sergio.

    Por otra parte, teniendo en cuenta que la lámpara es de 90 W y la mayor parte de la energía se disiparía en forma de calor, todos los cálculos están mal (qué majo soy, esto nos lo enseñan en ingeniería).

  4. A mí me ha encantado, y lo he intentado, pero me ha pillado en la peor semana del curso. Intenté sacar tiempo, pero me fue imposible.

    Para la próxima, prometo terminarla.

  5. Pues a mí me pareció extremadamente fácil de solucionar: Para que le llegue el cogollo, tiene que ponerse a una distancia de 0,0 m del alféizar de la ventana, con una escalera de 5m de altura.

  6. el_dva

    “La planta recibe un total de 90w * 10% * 200h = 1800Wh” desde alli partimos mal, la eficiencia maxima de una bombilla se ha calculado a un 19% osea de 1800Wh solo 342Wh son transformados en Luz, el resto solo es calor, ahora para saber la energia irradiada se necesitan los lux por W, junto con la frecuencia de la luz, se calcula la energia. por lo mismo creo que ese calculo esta mal del principio.

  7. José Luis

    Estoy bastante de acuerdo con Sergio L. Palacios, a lo que añado que el próximo problema intentaré solucionarlo. Es que este no sabía ni por donde cogerlo :S

  8. tallcute

    @Sergio Palacios y @José Luis, entiendo que la gente no tiene tiempo por eso es posible que no lo repita. Como curiosidad ha estado bien y yo me he divertido haciéndolo y creo que a la gente le ha gustado al menos verlo.
    @Samuel, puedes aprovechar y saludar a tus amigos, alabar a los que te apoyaron y promulgar un manifiesto🙂
    @Iñaki y @el_dva. Si el enunciado de un problema toma unos supuestos hay que seguirlos ¿o acaso no realizabais los problemas de física del instituto porque no tenían en cuenta el rozamiento?, ¿y los de la universidad porque no se tenían en cuenta las variaciones en el espacio tiempo? ¿o los del doctorado porque la física es simplemente es un modelo y como todos sabemos un modelo nunca es perfecto? si yo digo que la planta aprovecha el 10% de la energía de la bombilla es que lo hace, y punto. Sino tendría que meterme con que tipo de bombilla es, o si es un LED o mi planta mutante transforma el calor en energía química (ya os la enseñaré). Es mi blog y transgredo las leyes de la termodinámica cuando quiero🙂
    @dorwinrin, ¿hackeando la casa X? muy mal me parece…

  9. Pingback: El Problema Mariposa (problema I: la casa X) « Tall & Cute

  10. José Luis

    @Tallcute: “transgredo las leyes de la termodinámica cuando quiero”

    Ya te gustaría😀😀
    Ahora en serío, si decides poner otro problema o no me parecerá bien en cualquier caso.

  11. Samuel

    Holas,

    @Sergio L. Palacios: Es posible que a poca gente le haya enganchado, pero creo que a la mayoría le ha gustado por curiosidad. Yo de hecho se lo envié a mis amigos y les dije que lo iba a intentar, y al final, ya ves…

    @Iñaki: Las bombillas más ineficientes sólo dan el 6% de su energía en forma de luz visible, pero yo me quedé con que la planta aprovechaba el 10% de la energía emitida por la bombilla y au. Aún así, una de mis dudas estaba relacionada (por si había que considerar el área que ocupaba la planta con respecto al área total irradiada), y el doctor me la resolvió amablemente.

    @el_dva: Es que ahí ya eliges la eficiencia, y se supone que no hay que inventar datos… De todas formas, asumiendo esa eficiencia… ¿Por qué quieres calcular los lux por W para obtener la energía, si la energía ya la tienes (Wh)? Parece innecesario.

    @tallcute: Qué maleducado soy. Y es que no lo habría conseguido sin las dudas que me resolviste (que lo sepáis todos, desde los moles iniciales estaba yo ya mal encaminado…), y además cuando me quedé a medias y abandoné me animaste a que lo terminara aún fuera del plazo inicial…

    Pues eso. Y un saludo a mis amigos, a los que enseguida les voy a enviar un link para presumir.

  12. el_dva

    @samuel: te explico:

    los 200W son los que consume la bombilla, supongamos que se generan unos 20 lux por Watt, a una eficiencia del 18% osea tienes 200W*20lux/W*18% = 720 Lux, eso calculas la irradiancia para saber la energía efectiva radiada, ejemplo luz Violeta: 683 lux * Wh/555nm*436nm(Violeta)/720Lux = 0,745wh = 641 Kcal.

    solo en esa longitud de onda por lo tanto tienes la energia que corresponde, por lo mismo se sabe que el sol da unos 1.4Kw/m2, suficientes para que un panel solar genere unos 300W por m2.

    como puse en otro comentario, parecía que me estoy metiendo en otro cuento, pero por eso lo preguntaba.

    @tallcute: Lamento que te enfadaras, pero ya en la U, nos repetían hasta el cansancio que no hay que suponer cosas, en los exámenes simplemente no se realizaban si faltaban datos o habían incongruencias lógicas y hay que repertilos, especialmente en fisica III, por eso me cuesta un poco dar por hecho algunos datos y no los tomo tan apecho, mis disculpas si te moleste.

    Saludos

    • tallcute

      No me ha molestado, lo que digo es que tienes unos datos del problema que además no son una locura (que la planta aproveche el 5-10% de los W utilizados en un LED, por ejemplo, es algo que probablemente se pueda conseguir). Con conocimientos de secundaria como dice el enunciado no se puede pedir que el modelo sea muy exacto: rozamiento, ineficiencias energéticas que haya que calcular, integrales complejas, mecánica de fluidos, etc no pueden estar por razones evidentes.
      En cualquier caso suponer datos es precisamente salirse de los que se tienen para resolver el problema. A veces está bien hacerlo pero cuando se sabe un dato (en este caso el famoso 10%) ¿por qué haría falta meterse en la caja negra para saber que hay? (al menos más allá de la curiosidad) es un poco como los árboles que no dejan ver el bosque.

  13. dani

    señores, menos cálculos y más salir a la calle, que hace sol; no me sean frikis, luego se quejan de que las chicas no les hacen caso, sáquense los boligrafos del bolsillo y vivan la vida, no tanta matematica que solo sirve para asar el cerebro analitico ese que tienen, espabilense que la vida son 2 dias!!!

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