¿Tenía realmente Fermat una demostración para su último teorema?

Una de curiosidades matemáticas más comentadas es el denominado último teorema de Fermat, un problema matemático con una historia poco usual y seguro conocida por muchos lectores.

El gran genio francés acostumbraba a escribir anotaciones en el borde de los libros que leía aunque es especialmente famosa su anotación realizada en 1637 en un ejemplar de La Aritmética de Diofanto , que asegura lo siguiente:

Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en la suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que la demostración quepa en él.

Pierre de Fermat (Fuente Wikipedia)

Una afirmación que se resume así: siendo n un número entero mayor que 2 no existen números a, b y c diferentes de 0,tales que cumplan   a^n + b^n = c^n  \,. La excepción que comenta el problema son los denominados tripletes pitagóricos donde n = 2. Estos tripletes, desarrollados en muchas culturas anteriores a la griega, son la base de muchas obras de ingeniería

 

Homer a punto de ser engullido por la realidad 3D al formarse un resultado que aparentemente contradice la conjetura de Fermat

Aparte del comentario escrito en el borde, Fermat dejó una demostración para n = 4, la cual dicho sea de paso, ya había sido hallada en otro contexto por el mismísimo Fibonacci en 1225, aunque probablemente Fermat no la conocía.

Pierre de Fermat fue un matemático excepcional, de ahí que tras él muchos se tomaran en serio la búsqueda de la prueba, más aun cuando cualquier intento de encontrar un grupo de números capaces de satisfacer la igualdad era en vano. Tras Fermat muchos de los más grandes matemáticos de la historia como Euler o Gauss han abordado el último teorema en un esfuerzo para encontrar la excelente demostración del genio francés. Una demostración que se les escapó, para su frustración, a todos y fue incrementando el misticismo del teorema ¿Qué matemático no querría resolver el problema que se le escapó a Gauss, quizás la mente más maravillosa del siglo XIX? Aunque se consiguieron soluciones parciales para algunos casos, la solución completa al último teorema de Fermat no llegaría hasta mediados de los 90 de la mano de Andrew Wiles aunque aun contenía un error que fue solucionado con la ayuda de Richard Taylor

Antes de continuar es importante puntualizar una cuestión, aunque generalmente se denomina teorema a este problema, oficialmente se ha considerado una conjetura (casualidad que Wikipedia usa la de Fermat como ejemplo),  puesto que Fermat no aportó la prueba matemática que decía tener y que lo avalaría como teorema. 

¿Tenía Fermat una solución al problema? La solución ofrecida por Andrew Wiles se basa en trabajos matemáticos ideados en el siglo XX y, con especial relevancia en la conjetura Taniyama-Shimura desarrollada en los 80, que fue el camino de Wiles para la demostración. Todos estos trabajos se escapan del conocimiento que Fermat podía manejar en el siglo XVII cuestionando el hecho de que pudiera poseer una prueba para el problema. ¿Podría Newton idear la Teoría de la Relatividad en su época?. Por otro lado Fermat escribió “demonstrationem mirabilem“, que me parece más adecuado traducir como “demostración maravillosa” lo que sugiere una solución ingeniosa y sencilla que no se parecía en nada a las más de 100 páginas del trabajo de Wiles. Este detalle ha hecho que muchos seguidores de la conjetura sigan buscando la prueba de Fermat, como el propio Wiles indica: 

“No creo que Fermat tuviera una prueba. Creo que se engañó así mismo creyendo que la tenía. Pero  lo que hace este problema especial para los no profesionales es que hay una diminuta posibilidad de que exista una prueba elegante del siglo XVII.”

” I don’t believe Fermat had a proof. I think he fooled himself into thinking he had a proof. But what has made this problem special for amateurs is that there’s a tiny possibility that there does exist an elegant 17th-century proof”

Andrew Wiles (Traducido de NOVA online)

Los expertos, no sólo Wiles, parecen estar de acuerdo en que Fermat no poseía una prueba para todos los n y que quizás creyó encontrar una sin darse cuenta que era errónea (se habla incluso que podría ser una encontrada en los papeles de Euler que resultó no ser correcta). En cualquier yo he encontrado una demostración excelente, aunque el post es demasiado pequeño para que la demostración quepa en él: ocupa más de 100 páginas y llega tras más de 3 siglos de búsqueda.

Referencias:

Empecé a mirar sobre el tema a raíz de un comentario de Richard Dawkins en “The Greatest Show on Earth“. Casi toda la información viene de la Wikipedia en inglés (Fermat´s last Theorem) y de la entrevista Wiles en NOVA online. La imagen es una captura de los Simpsons que encontré aquí.

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20 comentarios

Archivado bajo Science & Nature

20 Respuestas a “¿Tenía realmente Fermat una demostración para su último teorema?

  1. Yo creo que Fermat era un cachondo mental y se propuso hacer la mayor inocentada matemática de la historia.

    Por cierto, el alemán te está sorbiendo el coco:

    “Empece ha mirar sobre el tema […]”.

    • tallcute

      Fijo, aunque al menos la historia le exonera porque había solución aunque imagino que Euler y otros lo matarían si lo pillaran por ahí.

      Ya lo he cambiado, en el anterior post lo mismo. Dentro de poco voy a escribir con el diccionario choni

  2. Pingback: ¿Tenía realmente Fermat una demostración para su último teorema?

  3. Peich

    Creo que Lisbeth Salander tenía algo que decir al respecto, pero… se lo hicieron olvidar.

  4. Magnífico post.
    Muy interesante.
    Aquí en Sevilla, dan unos premios en la Facultad de Matemáticas así en plan broma a alumnos y profes. Y tenemos el “Premio Fermat, al más Fantasma de la Facultad”.
    con eso lo digo todo.

  5. Loko

    si suponemos q fermat no tenia la solucion entonces solo propuso esta conjetura para hacernos pensar mas de tres siglos, al fin y al cabo era un genio, quien puede asegura q no tenía la solucion?? creo q esto tambien será una conjetura que no podremos demostrar..

  6. José Luis

    Yo también, personalmente, pienso que Fermat no tenía una demostración (por lo menos para todos los n), pero en cualquier caso su anotación en el borde de una página sirvió para que durante unos cuantos siglos unos cuantos matemáticos se rompiesen la cabeza.

  7. Coño, Tall, pues me parece que voy a emplear este post para responderte al email que me enviaste…🙂

  8. Pingback: El problema matemático más difícil del mundo II « Jon Kepa

  9. Bajo mi punto de vista Fermat tenía una demostración que él creía válida para este problema, pero la veía tan evidente que ni siquiera se preocupó de escribirla.

    Pero no se por qué me da que más adelante se dio cuenta de que la demostración no servía y por ello dejó de hablar del tema. Algo parecido a los supuesto “primos de Fermat”.

    De todas formas sí es cierto que esa inocente anotación en la Aritmética de Diofanto hizo que los más grandes matemáticos de la época posterior a Fermat se preocuparan del asunto y por tanto que la teoría de números avanzara muchísimo en los tres siglos siguientes.

  10. Pingback: ¿Tenía realmente Fermat una demostración para su último teorema? « El Teléfono Verde

  11. Hay un librito sobre el teorema de Fermat: “El enigma de Fermat” de Simon Singh.

    La historia de Andrew Wiles es especialmente interesante. Por lo visto el tipo vivió obsesionado con el teorema durante años, consumido por la angustia de saber que, aún estando sobre la pista, en cualquier momento alguien podía adelantarse.

    Tampoco debió de pasarlo bien cuando descubrió el error dichoso, ni durante los meses de revisión que siguieron a la publicación de su solución, hasta que la comunidad de matemáticos acabó aceptándola.

  12. Ve, y todos hablando de Fermat. ¿Y quién habló de los Simpson?

    Miren la fórmula:

    El resultado del lado izquierdo es:

    2,5412102586145891762886699581424e+39

    Y el del lado derecho es:

    2,5412102593148014108192786496437e+39

    Si ven, hasta 2,54121025 están iguales y el próximo dígito casi que puede decir uno que es una aproximación o “redondeno” uno del otro (aunque sé que *no* son los mismos números y difieren bastante el uno del otro, se acercaron mucho). ¿Tendran esos locos las demostraciones?

    Saludos !!

  13. albrimeles moronta

    un cuadrado puede ser dividido en 2 cuadrados,pero es imposible dividir un cubo en 2 cubos.pero eso es verdad para ciertos cuadrados no para todos los cuadrados. Dr . ALBRIMELES MORONTA . coreo. albrimelesmoronta@hotmail.com

  14. Pingback: El problema matemático más difícil de la Historia « fermin mittilo

  15. Hola:
    Fermat tenía, según muchos, “la inexplicable costumbre” de no publicar sus demostraciones. Es más, hay un solo teorema demostrado por él del que se conoce la prueba.

    Sus problemas eran enunciados como desafíos y tuvimos que esperar cien años y más para que algunos de ellos fueran resueltos por otros matemáticos. Fermat parecía hasta estar burlándose de la incapacidad de sus lectores, cosa que no le granjeó la simpatía de muchos. Algunos, como Descartes, pasaron de un simple desagrado a la difamación.

    Yo creo que la conducta de Fermat puede tener una explicación: él pudo haber pertenecido a una sociedad secreta. Siempre se ha hablado de un conocimiento secreto resguardado tras doctrinas herméticas en sociedades iniciáticas. Por algún motivo, los superiores de Fermat pudieron considerar necesario medir el progreso y la capacidad alcanzados por los matemáticos contemporáneos y pudieran haber autorizado a Fermat a publicar algunos de esos conocimientos, pero sin demostración, con fines de estudio. Si los matemáticos contemporáneos podían resolverlos, el secreto -de todas formas- iba a dejar de ser tal. Y si no lo resolvían, no había ninguna revelación. “Veo que crees estas cosas porque yo te las digo, pero no sabes el por qué; de modo que no por ser creídas permanecen menos ocultas” (Dante)

    La remota posibilidad de que exista una demostración elemental -o más sencilla- que la de Wiles quizás no sea tan remota. Los matemáticos contemporáneos a Fermat y los que siguieron atacaron el problema tal cual había sido enunciado, analizando la divisibilidad. Un camino muy difícil. Nadie intentó cambiar la forma del enunciado a una expresión equivalente, pero de la que fuera más accesible la demostración. La exclamación de Fermat, de que tenía una demostración maravillosa, pudo ser, entonces, porque había encontrado una forma equivalente de la que era casi inmediata su demostración, por alguna propiedad de esa forma y no por el largo camino de la divisibilidad.

    No puedo demostrarlo, pero es un camino, al menos, no imposible. Para lo que pueda servir.

    Cordialmente,
    Carlos

  16. FREMIO CABRERA UBIERA

    YO TENGO LA DEMONSTRATIONEM MIRABILEM QUE PUDO HABER TENIDO FERMAT . ING . FREMIO CABRERA U. e-mail :fremio53@gmail.com

  17. Hector Ivan

    Creo que Fermat si tenia la solucion. Y esa solucion es sencilla, la cual ademas demuestra que el Ultimo Teorema de Fermat es valido tanto para la suma como para la resta, es decir: para todo x,y que sea numero entero positivo, no existe un z entero positivo que cumpla la ecuacion z^n = x^n – y^n para n>2. hectorivannunes@gmail.com. España.

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